紙に書いて試したい人向けの5問です。問題1から問題5まで続けて載せ、その後に同じ番号の解答を書いています。
問題1 余りの条件
2で割ると1余り、3で割ると2余り、4で割ると3余り、……、10で割ると9余る正の整数のうち、最も小さいものを求めよ。
問題2 連続する正の整数の和
2026をいくつかの連続する正の整数の和で表す方法は何通りあるか。ただし、2026だけで表す場合も1通りとする。
問題3 約数が12個ある最小の整数
約数がちょうど12個ある正の整数のうち、最も小さいものを求めよ。
問題4 2、3、5のいずれでも割り切れない数
1から1000までの整数のうち、2、3、5のいずれでも割り切れないものは何個あるか。
問題5 平方差
`m²-n²=2025` を満たす正の整数の組 `(m,n)` は何組あるか。
解答1
2519
求める数を N とすると、N+1は2から10までのすべてで割り切れます。2から10までの最小公倍数は2520なので、`N=2520-1=2519` です。
解答2
2通り
2026そのものと、`505+506+507+508` の2通りです。
解答3
60
`60=2²×3×5` なので、約数の個数は `(2+1)(1+1)(1+1)=12` です。60より小さい数には、約数を12個もつ数はありません。
解答4
266個
2、3、5で割り切れない数は30ごとに同じ並び方をします。1から30まででは、1、7、11、13、17、19、23、29の8個です。
`1000=30×33+10` なので、最初の990個に `33×8=264` 個あります。991から1000では991と997の2個が該当するため、合計は266個です。
解答5
7組
`m²-n²=(m-n)(m+n)=2025` と変形します。`2025=3⁴×5²` なので正の約数は15個です。平方根に対応する組を除く因数の組は `(15-1)÷2=7` 組あります。2025は奇数なので、どの因数の組からも正の整数 m、n が得られます。