問題1から問題5までを先に載せ、後半に解答があります。答えを見ずに解きたい場合は、問題5まで読んだところで一度止めてください。
問題1 数字「1」は何回現れるか
1から999までの整数をすべて書いたとき、数字「1」は全部で何回現れるか。
問題2 3個の3桁の整数
1から9までの数字を1回ずつ使って3個の3桁の整数を作る。その3数の和として考えられる最小の値を求めよ。
問題3 条件を満たす最小の9桁整数
1から9までの数字を1回ずつ使って9桁の整数を作る。隣り合うどの2桁の和も10以上となる整数のうち、最も小さいものを求めよ。
問題4 11の倍数
1、2、3、4、5、6を1回ずつ使って作られる6桁の整数のうち、11の倍数は何個あるか。
問題5 回文数
1から10000までの整数のうち、左から読んでも右から読んでも同じ整数は何個あるか。
解答1
300回
000から999までを3桁で書くと、百・十・一の各位に1が100回ずつ現れます。先頭の0を補っても、1の個数には影響しません。
解答2
774
和を小さくするには、小さい数字を位の大きい場所に置きます。
- 百の位：1、2、3
- 十の位：4、5、6
- 一の位：7、8、9
したがって、`100×(1+2+3)+10×(4+5+6)+(7+8+9)=600+150+24=774` です。
解答3
192837465
最初の数字をできるだけ小さく選び、そのたびに直前の数字との和が10以上となる最小の未使用数字を選びます。この手順で並べると、最小の整数は192837465となります。
解答4
0個
11の倍数になるには、奇数番目の3数字の和と偶数番目の3数字の和との差が11の倍数でなければなりません。
1から6までの合計は21です。奇数番目の3数字の和を x とすると、差は `x-(21-x)=2x-21` となります。3数字の和は6以上15以下なので、この差は-9以上9以下であり、0にもなりません。したがって、11の倍数は作れません。
解答5
198個
- 1桁：9個
- 2桁：9個
- 3桁：最初の2桁を決めればよいので90個
- 4桁：最初の2桁を決めればよいので90個
10000は回文数ではないため、`9+9+90+90=198` です。