5問に共通するのは、「条件に当てはまる2数を入れずに、何個まで選べるか」と逆から考えることです。その限界に1個足すと、「必ず含まれる最小個数」が見えてきます。
問題1 連続する2整数
1から2026までの整数から異なる整数を選ぶ。必ず連続する2整数が含まれるようにするには、少なくとも何個選べばよいか。
問題2 和が100になる2数
1から100までの整数から異なる整数を選ぶ。選んだどの2数の和も100にならないようにするとき、選べる個数の最大値を求めよ。
問題3 和が19になる2数
1から18までの整数から異なる整数を選ぶ。和が19となる2数が必ず含まれるようにするには、少なくとも何個選べばよいか。
問題4 差が10の倍数になる2数
1から20までの整数から異なる整数を選ぶ。差が10の倍数となる2数が必ず含まれるようにするには、少なくとも何個選べばよいか。
問題5 差が5以下になる2数
1から30までの整数から異なる整数を選ぶ。差が5以下である2数が必ず含まれるようにするには、少なくとも何個選べばよいか。
解答1
1014個
連続する2数を含まない選び方として、奇数だけなら1013個選べます。一方、`(1,2),(3,4),…,(2025,2026)` という1013組に分けると、1014個選んだ場合はどこかの組から2個とも選ぶことになります。
解答2
51個
和が100となる組は `(1,99),(2,98),…,(49,51)` の49組です。それぞれから1個ずつ選べます。さらに50と100も選べるため、最大は `49+2=51` 個です。
解答3
10個
1から18までは、`(1,18),(2,17),…,(9,10)` という和が19になる9組に分けられます。各組から1個ずつなら9個まで条件を避けられますが、10個選ぶと必ずどこかの組を両方選びます。
解答4
11個
1から20までは、10で割った余りが同じ2数の組に分けられます。10組から1個ずつなら10個まで条件を避けられますが、11個選ぶと同じ余りの2数が含まれ、その差は10となります。
解答5
6個
差が5以下になる2数を避けるには、選ぶ数同士を6以上離す必要があります。たとえば1、7、13、19、25の5個は選べますが、6個選ぶことはできません。したがって6個選べば、必ず差が5以下の2数が含まれます。