論理パズル

大人も楽しめる論理パズル5問（解答付き）

執筆・編集：giftedly編集部 ／ 公開： ／ 更新： ／ 情報確認：

4枚のカード、27枚の硬貨、欠けたチェス盤、1000本の瓶、6人の関係。昔から知られている論理パズルを5問選びました。条件命題、三等分、不変量、二進法、鳩の巣原理を使います。

問題のすぐ下にヒントがあり、その先に解答と考え方があります。5問とも無料です。WAIS・WISC、MENSA、JMO・JJMOの実際の問題ではなく、何問解けてもIQは測れません。

5問の内容

公開範囲5問すべて無料。問題・ヒント・解答・考え方まで掲載
難易度初級2問・中級3問
作成方針古典的な問題をもとに、giftedlyが問題文と解説を独自に再構成
対象外WAIS・WISCの実際の検査問題、MENSAの入会判定問題、JMO・JJMOの公式問題ではありません

5問の出典と、解答を書くときに参照した資料はページの末尾に載せています。

どの問題から解くか

最初の2問は初級、残り3問は中級です。問題文だけで考えたい人は、ヒントと解答を閉じたまま読めます。迷ったら条件を図にするか、一行ずつ短く書き直してみてください。

問題必要な知識難しさ
4枚のカード偶数・奇数、母音・子音初級
27枚の硬貨四則計算初級
欠けたチェス盤白黒の市松模様中級
1000本の瓶2の累乗中級
6人の関係場合分け中級

問題1　4枚のカード。どのカードを裏返すか

4枚のカードにA、D、4、7が見えています。各カードは片面にアルファベット、もう片面に数字が書かれています。規則は『片面が母音なら、もう片面は偶数である』です。この4枚について規則が守られているか確かめるには、最低限どのカードを裏返せばよいでしょうか。

ヒントを見る

規則を破り得る組合せに絞って探します。

解答と考え方を見る

解答：Aと7の2枚を裏返します。

Aの裏が奇数なら規則に反します。7の裏が母音でも規則に反します。Dの裏は偶数でも奇数でも規則の対象外です。4の裏が子音でも、規則は『偶数なら母音』とは述べていないため、確かめる必要はありません。

問題2　27枚の硬貨。天秤3回で重い1枚を探す

同じ見た目の硬貨が27枚あります。そのうち1枚だけが偽物で、ほかの硬貨より重いことが分かっています。残り26枚はすべて同じ重さです。分銅のない天秤を3回まで使い、偽物を必ず特定してください。

ヒントを見る

1回の計量で、候補を同じ枚数の3組に分けます。

解答と考え方を見る

解答：27枚を9枚ずつ3組に分け、2組を量ります。候補の9枚も3枚ずつ3組に分け、そのうち2組を量ります。最後に、候補の3枚から2枚を1枚ずつ量れば、偽物を特定できます。

最初の計量で天秤が傾けば重い側の9枚、釣り合えば量らなかった9枚に偽物があります。同じ手順で候補を9枚から3枚、3枚から1枚へ絞ります。各計量の結果は『左が重い』『右が重い』『釣り合う』の3通りです。そのため、候補数は27→9→3→1と、毎回3分の1になります。

問題3　対角の2隅を切ったチェス盤。31枚のドミノで覆えるか

8×8のチェス盤から、対角にある2つの隅を切り取ります。残った62マスを、1×2のドミノ31枚で覆えるでしょうか。ドミノは縦か横に置き、隣り合う2マスを覆います。重ねたり、盤面からはみ出させたりはできません。

ヒントを見る

盤面を白黒交互に塗り、1枚のドミノが覆う色を数えます。

解答と考え方を見る

解答：覆えません。

1枚のドミノは必ず白1マスと黒1マスを覆います。対角の2隅は同じ色なので、切り取った後は一方の色が30マス、もう一方が32マスです。31枚のドミノが覆う色は31マスずつでなければならず、30対32の盤面とは一致しません。置き方を変えてもこの色の差は変わらないため、敷き詰めは不可能です。

問題4　1000本の瓶。10個の判定器で1本を特定する

1000本の瓶のうち、対象となる瓶は必ず1本だけです。瓶から採った試料は自由に混ぜられ、10個の判定器を1回ずつ使えます。各判定器は、混合試料に対象の瓶の試料が含まれていれば陽性、含まれていなければ陰性を返します。10個の結果は同時に得られ、判定に誤りはありません。どの瓶が対象か、1回の一斉判定で特定してください。

ヒントを見る

陽性を1、陰性を0として、10個の結果を0と1の10桁の並びで表します。

解答と考え方を見る

解答：瓶1〜1000には、0で桁を補った10桁の二進数をそれぞれ割り当てます。各瓶について、その番号で1になっている桁を確認します。1の桁に対応する判定器へ、その瓶の試料を入れます。判定後、陽性を1、陰性を0として結果を並べると、対象の瓶に割り当てた番号になります。

判定器1個から得られる結果は、陰性と陽性の2通りです。10個なら2の10乗、つまり1024通りの結果を区別できます。瓶は1000本なので、各瓶に異なる10桁の二進数を割り当てられます。これは、問題文で定めた理想的な判定器を使う数学上のパズルです。実際の検査や安全管理に、そのまま使える手順ではありません。

問題5　6人の関係。同じ関係の3人は必ずいるか

6人の集まりでは、どの2人についても、互いに知り合いか、互いに知らないかのどちらか一方だとします。このとき、互いに知り合いの3人、または互いに知らない3人が必ず存在することを示してください。関係は相互的で、例外はないものとします。

ヒントを見る

1人を選び、その人と残り5人との関係を2種類に分けます。

解答と考え方を見る

解答：1人を基準に残り5人を2種類へ分けると、同じ種類に少なくとも3人が入ります。その3人同士の関係によって、互いに知り合いの3人か、互いに知らない3人のどちらかが必ずできます。

Aさんを1人選び、残り5人を、Aさんとの関係が『知り合い』の人と『知らない』人に分けます。5人を2種類に分けると、どちらか一方に少なくとも3人が入ります。これが、ここで使う鳩の巣原理です。Aさんの知り合いを3人選べる場合、その中に知り合い同士の2人がいれば、その2人とAさんが互いに知り合いの3人になります。いなければ、選んだ3人は互いに知らない関係です。Aさんと互いに知らない3人を選べる場合、その中に互いに知らない2人がいれば、その2人とAさんが互いに知らない3人になります。いなければ、選んだ3人は互いに知り合いです。

5問で使った考え方

考え方5問の中ではほかの問題で見るところ
反例条件命題を破る組合せだけを確認する主張が成り立たない例
三等分天秤の3結果に候補を対応させる1回の操作で得られる結果の数
不変量ドミノ1枚が覆う白黒の数に注目する操作後も変わらない量や性質
二進法10個の『0か1』の結果を瓶番号へ対応させる0と1の組合せで区別できる数
鳩の巣原理5つを2種類に分けると、どちらかに3つ以上入る同じ分類に少なくとも何個入るか

次に解く無料の数学問題

整数10問と場合の数5問も、問題と解答を無料で公開しています。

整数の問題5問（解答付き）1から999に数字の1は何回出るか。3個の3桁整数の最小和、条件付きの9桁整数、11の倍数、回文数も扱う5問です。数学オリンピック風の整数問題5問（解答付き）2から10で割った余りが1ずつずれる数、2026を連続整数の和にする方法、約数が12個の最小数、2・3・5で割れない数、平方差。5問とも解答付きです。数学オリンピック風の場合の数問題5問（解答付き）何個選べば連続する2数が必ず入るか。和が100・19になる組、差が10の倍数・5以下になる組も考えます。全5問、解答付きです。

先取りだけに頼らず、一問から別解や新しい問いを広げる方法を書いています。

算数・数学が得意な子の伸ばし方算数・数学が得意な子の学び方は、先取りだけではありません。別解を探す、条件を変える、自分で問題を作る方法と、JMO・JJMOの対象や目的を書きました。

問題について

問題と解答はすべて無料ですか？

はい。5問とも、問題、ヒント、解答、考え方まで無料で読めます。

大人向けですか？子どもも解けますか？

年齢による利用制限はありません。必要な知識と難しさを問題ごとに示しているため、自分に合う問題から選んでください。

WAIS・WISC・MENSAの練習問題ですか？

いいえ。WAIS・WISCの実際の検査問題や、MENSAの入会判定問題を再現したものではありません。一般的な数学・論理パズルとして掲載しています。

JMO・JJMOの公式問題ですか？

いいえ。公式問題、公式過去問、公認教材ではありません。JMO・JJMOの過去問題は、数学オリンピック財団の公式サイトで読めます。

答えを見る前に、どこまで考えればよいですか？

時間は決めていません。まず問題だけを読み、行き詰まったらヒントを開きます。解答を読んだ後、自分が使わなかった条件を一つ見つけると復習になります。

問題文と解答を書くときに読んだ資料

どれも昔から知られている論理パズルです。大学の教材や専門機関の資料を読み、問題文と解答をgiftedlyの言葉で書き直しました。各機関から監修を受けた問題ではありません。

内容の誤りやリンク切れがあれば、ページのURLと該当箇所をお問い合わせから送ってください。確認して修正します。